Vpython - 雙擺系統完整推導與數值模擬 - hua-blog

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Vpython - 雙擺系統完整推導與數值模擬

2025-03-01

物理

/

力學

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雙擺

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拉格朗日

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數值模擬

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Vpython

系統定義#

參數	符號	說明
上擺質量	$m_1$	第一個質點質量
下擺質量	$m_2$	第二個質點質量
上擺長度	$l_1$	第一段桿長
下擺長度	$l_2$	第二段桿長
重力加速度	$g$	9.8 m/s²
角度	$\theta_1, \theta_2$	與鉛垂線夾角
角速度	$\omega_1, \omega_2$	$\dot{\theta}_1, \dot{\theta}_2$

質點坐標#

\begin{aligned} x_1 &= l_1 \sin\theta_1, &\quad y_1 &= -l_1 \cos\theta_1 \\ x_2 &= l_1 \sin\theta_1 + l_2 \sin\theta_2, &\quad y_2 &= -l_1 \cos\theta_1 - l_2 \cos\theta_2 \end{aligned}

拉格朗日力學推導#

總動能 T#

\begin{aligned} T_1 &= \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \omega_1^2 \\ T_2 &= \frac{1}{2} m_2 \left( l_1^2 \omega_1^2 + l_2^2 \omega_2^2 + 2 l_1 l_2 \omega_1 \omega_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) \right) \\ T &= T_1 + T_2 \end{aligned}

總位能 V#

V = -(m_1 + m_2) g l_1 \cos\theta_1 - m_2 g l_2 \cos\theta_2

拉格朗日量 L#

L = T - V

運動方程（Euler-Lagrange）#

經過繁瑣推導（相信我你不想手算第二次），得到角加速度：

\begin{aligned} \alpha_1 = \ddot{\theta}_1 &= \frac{ -m_2 l_1 \omega_2^2 \sin(\theta_1 - \theta_2) - (m_1 + m_2) g \sin\theta_1 + m_2 l_2 \alpha_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) }{ (m_1 + m_2) l_1 - m_2 l_1 \cos^2(\theta_1 - \theta_2) } \\\ \alpha_2 = \ddot{\theta}_2 &= \frac{ l_1 \omega_1^2 \sin(\theta_1 - \theta_2) - g \sin\theta_2 + l_1 \alpha_1 \cos(\theta_1 - \theta_2) }{ l_2 } \end{aligned}

（完整推導可見參考資料）

數值積分（Euler 方法）#

每一步更新：

\begin{aligned} \omega_1(t + \Delta t) &= \omega_1(t) + \alpha_1 \Delta t \\ \omega_2(t + \Delta t) &= \omega_2(t) + \alpha_2 \Delta t \\ \theta_1(t + \Delta t) &= \theta_1(t) + \omega_1(t + \Delta t) \Delta t \\ \theta_2(t + \Delta t) &= \theta_2(t) + \omega_2(t + \Delta t) \Delta t \end{aligned}

模擬結果展示#

軌跡圖#

雙擺軌跡模擬

流程圖#

模擬流程

能量守恆驗證#

能量守恆圖表

淺藍線為總能量 → 幾乎完全水平，證明數值模擬正確！

參考資料#

Vpython - 雙擺系統完整推導與數值模擬

https://fuwari.vercel.app/posts/物理雙擺模擬/

Author

Guo hua

Published at

2025-03-01

License

CC BY-NC-SA 4.0

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Chtholly Tree 題解

拉格朗日力學推導

拉格朗日量 L

運動方程（Euler-Lagrange）

數值積分（Euler 方法）

模擬結果展示

能量守恆驗證